在ΔABC中，求证:

证明 不妨设A/2=α，B/2=β，C/2=γ，则上式左边为
cos[(B-C)/2]+cos[(C-A)/2]+cos[(A-B)/2]
=[(sinα+sinβ+sinγ)^2+(cosα+cosβ+cosγ)^2-3]/2
由Jensen不等式易证:
sinα+sinβ+sinγ≤3sin[(α+β+γ)/3]=3/2.
所以
(sinα+sinβ+sinγ)^2+(cosα+cosβ+cosγ)^2-3≤(cosα+cosβ+cosγ)^2-3/4.
令cosα+cosβ+cosγ=t，所以
cos[(B-C)/2]+cos[(C-A)/2]+cos[(A-B)/2]≤(t^2-3/4)/2≤2t/√3.
<==> t^2-4t/√3-3/4≤0
解得: t≤3√3/2.
由Jensen不等式易证:
cosα+cosβ+cosγ≤3cos[(α+β+γ)/3]=3√3/2.
故原不等式成立.

一楼和楼主太有才了，学竞赛的吧……。。我是个学信息的，数学不行。。