a，b是正实数且a+b=1 证明：ab+1/ab〉=4+1/4

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/28 08:23:37
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我不要别人做过的
那些都是不对的

假设
f(x)=x+1/x
函数在（0，1）是减函数

要得到最小值，只需要求得x最大值

这里x=ab<=(a+b)^2/4=1/4
ab最大值为1/4
ab+1/ab最小值为4+1/4
ab+1/ab>=4+1/4
等号当a=b=1/2时成立

ab+1/ab>=4+1/4
ab-4>=1/4- 1/ab
ab-4>=(ab-4)/4ab
显然ab-4小于0
所以1<=1/4ab
4ab<=1
ab<=1/4
因为a+b=1，根据重要不等式
a+b>=2根号ab
所以4ab<=1/4
所以等式成立

ab+1/ab＝ab+(a+b)/ab=ab+1/a+1/b
=ab+(a+b)/a+(a+b)b
=ab+2+a/b+b/a
>=ab+2+2
=ab+4
=a*(1-a)+4
那么设y＝－a^2+a+4 (0<a<1)
可知y在这个范围内满足大于1/4

ab+1/ab>=17/4
等价
(ab)^2+1>=(17/4)(ab)
等价
(ab-1/4)(ab-4)>=0
设ab=x
等价
(x-1/4)(x-4)>=0

0=4*0*0<4ab<=(a+b)^2=1
0<4ab<=1
0<x<=1/4

(x-1/4)<=0
(x-4)<0
所以(x-1/4)(x-4)>=0
所以原式成立

ab+1/ab=ab+1/16ab+15/16ab
≥2√(ab/16ab)+15/16ab
=1/2+15/16ab≥1/2+15/4(a+b)²(4ab≤(a+b)²)
=1/2+15/