若直角三角形周长为定值L(L>0)求三角形面积的最大值

设三边为a,b,c,且a^2+b^2=c^2,a+b+c=L
所以a+b+√(a^2+b^2)=L
因为a+b+√(a^2+b^2)>=2√ab+√(2ab)=(2+√2)*(√ab)
所以(2+√2)*(√ab)<=L
所以√ab<=L/(2+√2)
所以面积S的最大值为1/2*[L/(2+√2)]=(3-2√2)L^2/4.

设两直角边为AB,则L=A+B+根号下(A的平方+B的平方)
又根据基本不等式可得:A+B>=2*根号下(A*B)
根号下(A的平方+B的平方)>=根号下(2*A*B)
所以L>=(2+根号2)*根号下(A*B)
三角形面积为:AB/2
所以面积最大为:(2-根号2)*(L的平方)/2

三边a,b,c,c为斜边
L=a+b+√(a^2+b^2)>=(2+√2)√(ab)
ab<=(3-2√2)L^2/2
S△ABC
=1/2*ab<=(3-2√2)L^2/4
△ABC的面积的最大值:
(3-2√2)L^2/4