不等式题目一道

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/14 18:41:45
（1）若a,b∈R⁺,且a+b=3,求[√（1+a)]+[√(1+b)]的最大值
(2)求y=4x²+(1/x)(x>0）的最小值
请详细解答谢谢

3=a+b>=2√ab,当a=b=1.5时取等号
所以ab<=(3/2)^2=9/4
令y=√(1+a)+√(1+b)
则y>0
y^2=1+a+2√[(1+a)(1+b)]+1+b
=2+(a+b)+2√(1+a+b+ab)
=5+2√(4+ab)
因为ab<=9/4,4+ab<=25/4
所以√(4+ab)<=5/2
所以y^2=5+2√(4+ab)<=10
0<y<√10
所以最大值是√10

y=4x^2+1/(2x)+1/(2x)>=3*[4x^2*1/(2x)*1/(2x)]的立方根
当4x^2=1/(2x)时取等号
8x^3=1
x=1/2,所以等号可以取到
[4x^2*1/(2x)*1/(2x)]的立方根=1的立方根=1
所以y>=3*1=3
所以最小值=3