两道高二数学题，关于数列的应用

1.上海大众轿车市场的POLO市场销售价为13.98万元每辆，小王计划购买一辆，每年应缴保险费，养路费合计为1万元，汽车的每年平均维修费和汽油费如下；第一年4千元，第二年7千元，第三年1万元，依次成等差数列，这种汽车使用多少年后保费合算（ 即使用多少年的年平均费用最少）？

2.某学校餐厅供应1000名学生用餐，每周有A.B两组菜（每人选一组），调查资料表明；在本周选A组菜的学生中有20%的人在下周选B组菜；而在本周选B组菜的学生中有30%的人在下周选A组菜。用An，Bn，分别表示在第n周选A组菜和B组菜的学生数。1）以An ，Bn表示A（n+1），并证明A(n+1）=An/2+300.
2）若A1=200，问选A组菜的与选B组菜的人数是否可能相等?如果相等，求出第几周选A组菜和选B组菜的人数相等，如不相等请说明理由。

要详细步骤，或者分析也可以，多谢！

1.解：设使用n年后保费合算，那么总费用为：
s=139800+n+4000n+3000n（n-1）/2,那么年平均费用为：
y=s/n=139800/n+4000+1500(n-1)
=139800/n+1500n+2500>=2倍根号（139800*1500）+2500
=13981
当且仅当139800/n=1500n时取等号，解得n=9.65
所以使用10年后保费合算

2.用an,bn分别表示在第n周选A组菜，B组菜的学生数。
根据题意,an个学生中在下周仍然选A组菜的有:80%*an
bn个学生下周选A组菜的有:30%*bn
这样,下周选A组菜的同学共有:a(n+1)=0.8*an+0.3*bn
同理,an个学生中下周选B组菜的有0.2*an,bn个学生中下周选B组菜的有:0.7*bn
所以,b(n+1)=0.2*an+0.7*bn
注意到,a(n+1)+b(n+1)=1000
三个公式联立,消去b(n+1),bn得到:
a(n+1)=1/2 an+300

因为a(n+1)=1/2 an+300
所以,a(n+1)-600=1/2[an-600]
这样,令cn=an-600
显然有:c(n+1)=1/2*cn
很显然,cn是等比数列,并且公比为1/2
由于cn是等比数列,所以,cn=c1*(1/2)^(n-1)
c1=a1-600=-400
这样,cn=-400*(1/2)^(n-1)
所以,an=600-400*(1/2)^(n-1)
显然,当an=500时,选A组菜与选B组菜的人数相等
解出,当n=3时,an=500

1)设使用n年后保费合算，那么总费用为13.98+n+(0.5+0.3n)n/2
年平均费用=13.98/n+1+0.25+0.15n>=2√（13.98*0.15）
当且仅当13.98/n=0.15n时取等号，解得n=9.654
所以使用10年后保费合算