在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C垂直面AB1D1

取B1D1中点 Q

因为A1C在平面 A1B1C1D1 上的 投影是 A1C1,

且 A1C1垂直于 B1D1，有三垂线定理知 A1C 垂直于 B1D1。

延长CA 到P 使得 AP=A1Q 。
则AQA1P是平行四边形， 所以A1P//AQ

注意到 PC=(3根号2)/2 ， CA1=根号3 ， A1P=(根号6)/2

所以 PC^2=PA1^2+CA1^2

所以 CA1垂直于 PA1。
所以 CA1垂直于 AQ（因为A1P//AQ）

AQ和B1D1是平面AB1D1上两条相交的直线。
所以A1C垂直面AB1D1

1、CD垂直面ADD1A1，而AD1在面ADD1A1上，那么CD垂直于AD1，
在面ADD1A1中，AD1垂直于A1D，那么有AD1垂直于面A1CD；
而A1C在面A1CD上，则AD1垂直于A1C；

CC1垂直于面A1B1C1D1，而A1C1在面A1B1C1D1上，那么CC1垂直于B1D1
在面A1B1C1D1中，B1D1垂直于A1C1，那么有B1D1垂直于A1CC1;
而A1C在面A1CC1上，则B1D1垂直于A1C；

AD1、B1D1都在面AB1D1上，且是相交的直线，A1C与他们都垂直；
那么A1C垂直于面AB1D1。