已知a b c为互不相等的正实数 且a+b+c=1 求证1/a+1/b+1/c>9

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/15 06:38:45
如题
已知a b c为互不相等的正实数 且a+b+c=1
求证1/a+1/b+1/c>9

利用均值不等式
a+1/(9a)>=2(a*1/(9a))^(1/2)=2/3。等号成立当且仅当a=1/(9a)。a=1/3
同理，b+1/(9b)>=2/3。等号成立当且仅当b=1/3；c+1/(9c)>=2/3。等号成立当且仅当c=1/3
三式相加得a+1/(9a)+b+1/(9b)+c+1/(9c）>=2
1/(9a)+1/(9b)+1/(9c）>=1。1/a+1/b+1/c>=9
这里等号成立的条件是a=b=c=1/3。与条件不符
故1/a+1/b+1/c>9

充分利用a+b+c=1
1/a+1/b+1/c=（a+b+c）/a+（a+b+c ）/b+（a+b+c ）/c
=1+b/a+c/a+1+a/b+c/b+1+a/c+b/c
=3+(b/a+a/b)+(c/a+a/c)+(c/b+b/c)因为a b c为互不相等的正实数
>3+2+2+2=9

已知实数a，b，c，d互不相等，且 ，试求x的值． 设a,b,c为互不相等的实数， 已知b,c为互不相等的实数,且满足关系式b平方+c平方=2a平方+16a+14与bc=a平方-4a-5,则a取值范围是 已知a，b，c为实数，且 已知a，b，c属于正实数，互不相等且abc=1，证:根号a 根号b 根号c〈1/a 1/b 1/c 设A.B.C是互不相等的实数 已知实数a,b,c互不相等,且a+(1/b)=b+(1/c)=c+(1/a),求(a^2)(b^2)(c^2)的值 已知a,b,c是互不相等的实数，若a,b,c成等差数列，a,c,b成等比数列，则a/b的值是多少 如果a,b,c为互不相等的实数，且满足关系b^+c^=2a^+16a+14与bc=a^-4a-5求a的取值范围。（^为平方） 如果a .b ,c 为互不相等的实数且满足关系式b*2+c*2=2a*2+16a+14与bc=a*2-4a-5,那么a的取值范围是（）