若 a、b、c 为任意的三个整数，证明 abc(a3 -b3 )(b3 -c3 )(c3 -a3 ) 能被7整除

首先，a,b,c如果是7的倍数，那么显然原题成立。那么如果都不是7的倍数呢？下面的推理需要一点小知识：

首先要知道一个数被7除的余数情况：0-6，共6种。

但是一个整数的3次方被7除的余数情况只有三种，0，1，6（不信你自己算算看：本来余1，2，4的数，3次方以后，都余1，本来余3，5，6的数，3次方以后，都余6，）

也就是说a3,b3,c3里面只有两种情况1，6，（当然不能是0，因为我们已经假设他们都不是7的倍数了）那么a3,b3,c3里面至少有两个数对于7的余数是相同的。

那么(a3 -b3 )(b3 -c3 )(c3 -a3 ) 必然能被7整除，原题得证。