求y=x+4/x,x∈（1，3]的值域

y=x+4/x
= (√x - 2/√x)^2 + 4

（√x - 2/√x ）^2 ≥ 0

若 √x - 2/√x = 0
则 x = 2
而 x = 2 ∈（1，3]，因此 √x - 2/√x = 0 可以成立。

原式 ≥ 4

其次讨论最大可能值

y = x + 4/x
设 1 < x1 < x2 ≤ 2
y2 - y1 = (x2 + 4/x2) - (x1 + 4/x1)
= (x2 - x1) + 4(1/x2 - 1/x1)
= (x2 - x1)[1 - 4/(x2*x1)]
x2 - x1 > 0
4/(x2*x1) ≥ 1
1 - 4/(x2*x1) < 0
y2 < y1
因此 原函数在 (1,2] 区间单调递减

同理可证，若 2 ≤ x1 < x2 ≤ 3
x2 - x1 > 0
1 - 4/(x2*x1) > 0
y2 - y1 > 0
原函数在 [2,3] 区间单调递增。

x = 1 时
y = x + 4/x = 5
x = 3 时，
y = x + 4/x = 13/3

因此 y < 5

函数的值域是 [4, 5)

不讨论 (1,2] 和 [2,3]区间单调性，而直接计算f(1) f(3) 是冒失的做法。他如何保证 f(1)不会小于 f(1.01)呢？所以严密的做法是要讨论单调性

y=x+4/x>=2根号（x*4/x）=4

进当x=4/x时取等号，即x=2

f（1）=5，f（3）=4+1/3

所以y=x+4/x,x∈（1，3]的值域为【2，5）

[4,5)
先画对号函数的图像
再根据定义域就能求出了