高一数学题：设f(x)=lg(1+2^x+3^x+4^x·a),如果f(x)在当x∈(-∞,1]时有意义，求a的取值范围。

我们注意到当a>=0时，1+2^x+3^x+a4^x>1>0对于所有的X均成立；
故我们现在要考虑的是a<0时的情况。
当a<0时，因为f(x)在当x∈(-∞,1]时有意义，表明1+2^x+3^x+a4^x>0对于x<=1恒成立。
故有-a<(1+2^x+3^x)/4^x=[(1/4)^x+(1/2)^x+(3/4)^x]
因为函数y=[(1/4)^x+(1/2)^x+(3/4)^x]在R上是单调减的。
所以函数y=[(1/4)^x+(1/2)^x+(3/4)^x]在区间(-∞,1]的最小值为y=3/2，此时x=1
所以有要使1+2^x+3^x+a4^x>0对于x<=1恒成立，则-a应小于(1+2^x+3^x)/4^x的最小值，即-a<3/2
于是就得到a>-3/2
综上所述有a>-3/2时，f(x)在当x∈(-∞,1]时有意义。

f(x)在(负无穷,1]时有意义,
则有:
f(x)=lg(1+2^x+3^x+4^x-a)中
有:
1+2^x+3^x+4^x-a>0在(负无穷,1]恒成立
则有:
g(x)=1+2^x+3^x+4^x-a的最小值恒大于0
g(x)'>0
g(x)min=g(1)>0
1+2+3+4-a>0
a<10