高中数学－证明命题－反证法证明

1.假设AB>AC
则角ABC<角ACB
又因为ABCD为凸四边形，有
角DBC<角ABC，角DCB>角ACB
所以角DBC<角DCB，即DB>DC
AB+DB>AC+DC,与题设矛盾

2.证：已知方程ax^2+bx+c=0(a不等于0)有有理根
故上方程的判别式△=b^2-4ac≥0
讨论：
一、△=0，b^2-4ac=0
ac=(b/2)^2
因a、b、c是整数，由已知条件可知，b必是2的倍数，故b一定是偶数。
二、△=b^2-4ac>0，
设b^2-4ac=(n/m)^2，m、n为整数，m≠0，n≠0
(b+n/m)*(b-n/m)=4ac=4*ac=4a*c=4c*a
（1）
b+n/m=4
b-n/m=ac
b=2+ac/2
若a,b,c均为奇数，b=2+ac/2不为整数，矛盾，a、c必有一偶
（2）
b+n/m=4a
b-n/m=c
b=2a+c/2
若c为奇数，b不为整数，矛盾，因此c为偶数
（3）
b+n/m=4c
b-n/m=a
b=2c+a/2
若a为奇数，b不为整数，矛盾，因此c为偶数

综上所述若整数系数方程ax^2+bx+c=0(a不等于0)有有理根，则a,b,c中至少有一个是偶数。