试证明：四个连续正整数的平方和不是平方数

(x-1)^2+x^2+(x+1)^2+(x+2)^2=4x^2+4x+6
(2x+1)^2=4x^2+4x+1<4x^2+4x+6
(2x+2)^2=4x^2+8x+4
4x^2+8x+4-4x^2-4x-6=4x-2
因为x>=1
则4x-2>0

4x^2+4x+6<4x^2+8x+4=(2x+2)^2

(2x+1)^2<4x^2+4x+6<(2x+2)^2
则4x^2+4x+6不是平方数

设这四个连续正整数是n，n+1，n+2，n+3
n²+(n+1)²+(n+2)²+(n+3)²
=n²+n²+2n+1+n²+4n+4+n²+6n+9
=4n²+12n+14
=4(n²+3n+3)+2
假设4(n²+3n+3)+2=m²，m是正整数
若m是偶数，m=2k，则
4(n²+3n+3)+2=4k²
显然，等式左边不是4的倍数，等式右边是4的倍数，等式不可能成立
若m是奇数，m=2k+1，则
4(n²+3n+3)=4(k²+k)+1
显然，等式左边是4的倍数加2，而等式的右边是4的倍数加1，等式不可能成立
所以假设不成立，不存在正整数m，使得4(n²+3n+3)+2=m²
即四个连续正整数的平方和不可能是平方数

假设这4个连续正整数是 n-2,n-1,n,n+1

则(n-2)^2+(n-1)^2+n^2+(n+1)^2=4n^2-4n+6

=2* (2n^2-2n+3),

(2n^2-2n+3),是一个奇数,也就是说四个连续正整数的平方和,它含有因子2,但是2的指数是1,故 四个连续正整数的平方和不是平方数.

x^2 + (x+1)^2 + (x+2)^2 + (x+3)^2