有关椭圆张角问题

解：设椭圆的方程为x=acost, y=bsint (a>b>0),c为半焦距，令h=b/a；则椭圆上一点Q的坐标为Q(acost,bsint),直线QA，QB(设A为左焦点）的斜率分别为
k（PA）=bsint/[a(1+cost)],k(PB)=bsint/[a(-1+cost)],由椭圆的对称性只需分析当0<t<=pi/2时的情形. 当角AQB=2pi/3时，直线QB到直线QA的角为pi/3，由“到角”公式，得：tan(pi/3)=[k(QA)-k(QB)]/[1+k(QA)*k(QB)]
=2h/[(1-h^2)sint]
=根号3...(1)
原名题等价于求h的范围使关于t的方程(1)有解.
由（1）与t的范围得：0<sint=2h/[(1-h^2)*根号3]<=1...(2)
0<h<1...(3)
解得:h属于(0,1/根号3], 所以h^2属于(0,1/3],所以e^2=1-h^2属于[2/3，1),所以e属于[根号6/3,1).

你的第二个问题的略证：因为给定一个椭圆，其h=a/b是常量，所以令C=2h/(1-h^2),由上述过程，得：直线QB到直线QA的角的正切=C/sint,0<t<=pi/2;由反比例函数的性质得:当且仅当sint=1，即当t=pi/2时正切值最小，此时“到角”最小，即它的补角：角AQB最大.所以当且仅当Q为椭圆短轴端点时角AQB最大.