证明：直角三角形内任意长方形面积小于等于该三角形的一半

将三角形固定在坐标上，边长分别为a、b（a、b均大于0） 面积为1/2ab
a、b的直线方程为 y=-b/ax+b
三角形内最大的长方形是边长和三角形的直角边重合
设长方形一边为x（x小于a），则领一边长为[-b/ax+b] 面积为[-b/ax^2+bx]

长方形的面积减去三角形面积的一半为
-b/ax^2+bx-1/4ab=-b/a（x^2-ax+1/4a^2）=-b/a(x-1/2a)^2

a、b均大于0，所以-b/a小于0
当x=1/2a时，长方形的面积=三角形面积的一半
当x不等于1/2a时，-b/a(x-1/2a)^2小于0，所以长方形的面积小于三角形面积的一半

直角三角形ABC，C为直角，AC=b,BC=a
S△ABC=ab/2

两种情况：
1）长方形两条边在直角边,C为一个顶点，另以顶点M在AB上 在AC点P，BC点Q
CP=X,PA=b-x
MP=tanA*PA=a(b-x)/b ，0<x<b
S长方形=x*a(b-x)/b
=-a/(b)(x-b/2)^2+ab/4
x=b/2 ，S长方形最大=ab/4=1/2S△ABC
0<S长方形<=1/2S△ABC
2)长方形一条边在AB上，在AC点P，BC点Q
CP=X ，CQ=tanA*X=ax/b,长PQ=√(a^2+b^2)x/b
宽MP=sinA*AP=a/√(a^2+b^2)*(b-x)
S长方形 =√(a^2+b^2)x/b*a(b-x)/(a^2+b^2)
=-a/(b)(x-b/2)^2+ab/4
S长方形最大=ab/4=1/2S△ABC
0<S长方形<=1/2S△ABC

总上：
0<S长方形<=1/2S△ABC
直角三角形内任意长方形面积小于等于该三角形的一半

不必要用坐标系啊.

分为设长方形四顶点依次为XYZW.分四种情况:<