在线等 高二数学问题（数列） 谢谢

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/07 01:50:09
在数列{An}中,A1=1,A(n+1)=2An+2^n. (1)设Bn=(An)/[2^(n-1)],证明数列{Bn}是等差数列 (2)求数列{An}的前n项和Sn

解：

（1）由条件A(n+1)=2An+2^n ，两边同时除以2^n

得A(n+1)/2^n=2An/2^n+1

A(n+1)/2^n-An/2^(n-1)=1

故数列｛An/2^(n-1)｝为以1为公差的等差数列
A1/2^0=1

从而数列{Bn}是以1为首项，1为公差的等差数列；

（2）
由（1）有An/2^(n-1)=1+(n-1)*1=n

所以An = n*2^(n-1)

Sn=1*2^0+2*2^1+3*2^2+....+ n*2^(n-1)…①
2Sn= 1*2^1+2*2^2+....+(n-1)*2^(n-1)+n*2^n …②

②-①得：
Sn=-1-2^1-2^2-....2^(n-1)+n*2^n
=-1-(2+2^2+2^3+...+2^(n-1))+n*2^n
=(n-1)*2^n+1

即Sn=(n-1)*2^n+1