已知函数f（x+y）=f（x）+f（y）。求证：f（x）为奇函数。

令x=y=0
f（0）=f（0）+f（0）

f（0）=0
再令y=-x
f（0）=f（x）+f（-x）
f（x）=-f（-x）
所以f（x）为奇函数

f（x+y）=f（x）+f（y）。
f(0)=2f(0)
所以f(0)=0
f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=0
f(-x)=-f(x)
所以是奇函数

令x=y=0，得f(0)=f(0)+f(0),所以f(0）=0；
（要证f(x)为奇函数，就是证f(-x)=-f(x),所以需要引入一个-x）
令y=-x,得f(0）=f(x)+f(-x),因f(0）=0
所以f(-x)=-f(x)，即f(x)为奇函数

奇函数即 -f（-x） = f（x）

f(0)=f(0)+f(0)
也就是f(0)=0

f(0)=f(-x+x)=f(-x)+f(x)=0

即-f（-x） = f（x）

所以得证 函数f（x+y）=f（x）+f（y）为奇函数

令x=y=0则可得：f（0）=f（0）+f（0）
所以f（0）=0
再令x=-y则有：f（x）+f（-x）=f（0）=0
即：f（x）=-f（-x）
所以f（x）为奇函数。

tanx y =tanx tany