柯西中值定理怎么证 越多越好最好与课本上不一样

在给出微分学中值定理的数学定义之前，我们先从几何的角度看一个问题，如下：

设有连续函数，a与b是它定义区间内的两点(a＜b)，假定此函数在(a,b)处处可导，也就是在(a,b)内的函数图形上处处都由切线，那末我们从图形上容易直到，

差商就是割线AB的斜率，若我们把割线AB作平行于自身的移动，那么至少有一次机会达到离割线最远的一点P(x=c)处成为曲线的切线，而曲线的斜率为，由于切线与割线是平行的，因此
成立。
注：这个结果就称为微分学中值定理，也称为拉格朗日中值定理

如果函数，在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且≠0，那末在(a，b)内至少有一点c，使成立。

例题：证明方程在0与1之间至少有一个实根
证明：不难发现方程左端是函数的导数：
函数在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且，由罗尔定理
可知，在0与1之间至少有一点c，使，即
也就是：方程在0与1之间至少有一个实根