已知：正方形ABCD E为BC延长线的一点，AE交BD于F，交DC于G，M为GE上的中点，求证：CF垂直CM

在直角△GCE中 ∠E+∠CGE=90°
因为M为GE上的中点 所以CM=MG 即∠CGE=∠GCM 那么∠E+∠GCM=90°
因为E为BC延长线的一点 所以AD‖CE 则∠E=∠EAD
F是正方形ABCD对角线BD上的一点 则△ADF≌△CDF(边角边) 且有点E、F在同一直线上 ∠EAD=∠DCF 即∠E=∠DCF
那么∠DCF+∠GCM=90° 即CF⊥CM

证明：
因为四边形ABCD是正方形
所以AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，AD//BE，∠BCD＝∠ECD＝90°
因为DF＝DF
所以△ADF≌△CDF（SAS）
所以∠DAF＝∠DCF
因为AD//BE
所以∠DAF＝∠E
因为M是GE的中点
所以CM是直角三角形ECG斜边上的中线
所以CM＝GE/2＝GM＝EM
所以∠E＝∠MCE
所以∠MCE＝∠DCF
因为∠MCG＋∠MCE＝90°，
所以∠MCG＋∠DCF＝90°
即∠MCF＝90°
所以CF垂直CM

江苏吴云超祝你学习进步

正方形ABCD E为BC延长线的一点，AE交BD于F，交DC于G，M为GE上的中点
所以：MC=MG（直角三角形斜边的中点到三个顶点距离相等）
所以∠MCG=∠MGC
正方形ABCD
AB=BC
BD为对角线
所以∠ABF=∠CBF
所以三角形ABF≌三角形CBF
所以∠BAF=∠BCF
又因为∠MGC=∠FGD=∠BAF
所以∠BCF=∠MCG
因为∠BCF+∠FCG=90度
所以∠FCG+∠MCG=90度
所以CF垂直CM

1:过M做MH平行于CD交EC于H点 因为M是GE中点则H是H是EC中点 切MH垂直于EC
则ΔEMH和ΔCMH全等.则 GM=MG=CM
所以角MCG=角MGC=角DGA=角GAB

2:因为是正方形.所以角ABD=角DBC=4