已知函数f(x)对任意实数x.y满足f(x)+f(y)=f(x+y)+3,f(3)=6,

楼上的单调性证的有问题。
将等式写成
f(x+y)-f(x)=f(y)-3;
对于任意的x1>x2,x1-x2>0有
f((x1-x2)+x2)-f(x1)=f(x1-x2)-3>0
所以f(x1)-f(x2)>0
函数为增。
第二问利用前面的单调性，好做。

1)
设m<n,n=m+t,t>0,
则f(m)-f(n)
=f(m)-f(m+t)
=f(m)-[f(m)+f(t)-3]
=3-f(t)※
∵t>0,∴f(t)>3,
※式<0,
∴f(m)<f(n).
f(x)在R上是单调递增函数.
温馨提示：此问题是抽象函数问题。它的一个特例是f（x）=x+3。
2)
∵f(x)+f(y)=f(x+y)+3,f(3)=6,
f(1)+f(2)=f(3)+3=9,①
f(1)+f(1)=f(2)+3,②
由①、②联立解得
f(1)=4,
假设存在实数a使f(a^2-a-5)<4成立,
则f(a^2-a-5)<f(1)
∵f(x)在R上是单调递增函数,
∴a^2-a-5<1,
解得
-2<a<3.
存在实数a∈(-2,3)使f(a^2-a-5)<4成立.

f(x+y)-f(x)=f(y)-3;
对于任意的x1>x2,x1-x2>0有
f((x1-x2)+x2)-f(x1)=f(x1-x2)-3>0
所以f(x1)-f(x2)>0
这样做可以
f(x+y)=f(x)+f(y)-3
f(3)=f(1+2)=f(2)+f(1)-3=f(1+1)+f(1)-3=f(1)+f(1)-3+f(1)-3=3f(1)-6
即f(3)=3f(1)-6 而f(3)=6,所以f(1)＝4

f(x+1)-f(