如图,已知△ABC是锐角三角形,正方形DEGF的一边在BC上,其余两个定点分别在AB、AC上,记△ABC的面积为S1,?F

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/04 17:58:55
如图,已知△ABC是锐角三角形,正方形DEGF的一边在BC上,其余两个定点分别在AB、AC上,记△ABC的面积为S1,正方形DEFG的面积为S2，则S1与2倍的S2的大小关系是什么？

S1≥2倍的S2

因为没有图，我把D、E、G、F各点定义为：D在AB上，E在AC上，F、G在BC上，且点F靠近点B，
做AM垂直BC，与BC交于点M，与DE交于点N，
因此S1=BC*AM/2，S2=DE*DF=DE^2，
易证：BF/BM=DF/AM，DE/BC=AN/AM=DN/BM，
又：DN=FM，BF+FM=BM，
因此：(DF/AM)+(DE/BC)=(BF/BM)+(FM/BM)=(BF+FM)/BM=1，
因此：DE*(AM+BC)=AM*BC，DE=AM*BC/(AM+BC)
因此：2*S2=2*[AM*BC/(AM+BC)]^2
因此：
S1-2*S2=(BC*AM/2)-2*[AM*BC/(AM+BC)]^2
=(BC*AM/2)*{1-[4*AM*BC/(AM+BC)^2]}
=(BC*AM/2)*[(AM-BC)^2/(AM+BC)^2]≥0，
因此：S1≥2*S2

设三角形ABC的高为h，正方形边长为a，
三个小三角形分别为三角形A、B、C，
则S2=a2，SA=a（h-a）/2，
SB+SC=a（BC-a）/2，
SA+ SB+SC= a（h-a）/2+ a（BC-a）/2
=a（BC+h）/2- a2＞0
SA+ SB+SC＞a2
SA+ SB+SC+ a2=S1＞2a2=2S2

不考虑正方形，考虑三个小三角形
由于他们与三角形的面积比是固定的
最后减去这三个三角形的面积就是你要求的关系了

S1>2倍S2