高二双曲线题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/26 21:37:33
双曲线x2-y2=a2(a>0)的左，右顶点分别为A，B，直线l垂直于实轴所在的直线且与双曲线交于P，Q两点，求证；∠PAQ+∠PBQ=180°
为什么x0^2-y0^2=a^2啊~~~~~~~~~

哦~~~~我知道了··

假设该直线l交双曲线的右支，P(x0,y0)为第一象限直线与双曲线的交点。由方程可知双曲线的焦点在x轴上，设直线与x轴的焦点为M。以PQ为对称轴作△PBQ的对称图形△PNQ，N在x轴上，则此时∠PBQ=∠PNQ。PM=y0，MA=x0+a，MN=x0-a，P在双曲线上，有x0^2-y0^2=a^2，从而就有y0^2=(x0-a)(x0+a)，所以PM^2=MA*MN，又因为PM⊥x轴，所以由射影定理的逆定理可知PA⊥PN，再由x轴的对称可知∠APN=∠AQN=90°，四边形APNQ的内角和是360°，所以∠PAQ+∠PNQ=180°，∠PBQ=∠PNQ，所以∠PAQ+∠PBQ=180°，同理当直线l交双曲线的左支时也能有上述结果，即得证。
用到了射影定理的逆定理和平面几何的一些知识，应该能看得懂吧。有疑问的话还可以再提。

利用相似三角形的角转换做