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来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/26 08:04:01
已知AB是半圆的直径,AC、BD两弦的交点P在半圆O内。

则AP×AC+BP×BD=AB平方 是否成立?请说明理由。

若两弦AC、BD的延长线交于P,则AB^2=

请给出证明

证明， 在AB上取点E，使得PE垂直AB,
那么可以知道三角形AEP 相似于 三角形ACB，从而有
AE/AP = AC/AB＝＝＝》 AP*AC = AB*AE (1)
同理可知，三角形BEP 相似于 三角形BED
BE/BP=BD/AB＝＝＝》 BP*BD=AB*BE (2)
由1,2可知
AP*AC+BP*BD=AB*AE+AB*BE=AB*(AE+BE)=AB^2

第二种类似方法证明.