证明实对称矩阵一定能够与对角矩阵相似

n阶实对称矩阵A
算出特征根然后可以求出n个特征向量
以n个特征向量为列向量的矩阵设为P
则A=P∧P^(-1),其中∧为相似的对角矩阵,对角线上的值即为特征根.
这是具体的求法,严格的证明需要用到矩阵二次型的基变换,在任何一本数学专业的高等代数书里可以找到.

任取一个A的单位长度的特征向量x，把它扩张成一个酉阵Q=(x,*)，则Q^H*A*Q有如下形式
c 0
0 B
c是相应的特征值，B是一个n-1阶矩阵。
然后归纳一下就行了。

在复数域上进行Jordan标准形分解, 因为是实对称所以共轭转置后不变, 从而Jordan标准形为实对角阵, 因此实对称阵与实对角阵复相似, 从而实相似.

是啊，线代里有证明啊

书上没有？我好像记得有……