UC知道数学的：O是三角形ABC的外心，P是三角形ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC，求证：PO垂直于面ABC
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/02 05:10:18
O是三角形ABC的外心，P是三角形ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC，求证：PO垂直于面ABC
证明：如图。 连AO，BO，CO。
∵O是三角形ABC的外心
∴AO=CO=BO
∵PA=PC=PC
PO=PO=PO
∴△PAO≌△PBO≌△PCO ∠AOP=∠BOP=∠COP=90°
∴PO垂直于面ABC
为什么说三个三角形全等，那么三个角都为直角呢？
证明：如图。 连AO，BO，CO。
∵O是三角形ABC的外心
∴AO=CO=BO
∵PA=PC=PC
PO=PO=PO
∴△PAO≌△PBO≌△PCO ∠AOP=∠BOP=∠COP=90°
∴PO垂直于面ABC
为什么说三个三角形全等，那么三个角都为直角呢？
假设不是直角则 PO 不垂直于面 ABC , 则作P在面上的射影点 Q , 根据 ∠AOP=∠BOP=∠COP 可以证明 ∠AOQ=∠BOQ=∠COQ. 但这是不可能的. 所以三个角都是直角.
∠AOP=∠BOP=∠COP,每个角都会=90，你画个图想想就知道了，不可能有个角不=90
做BC中点M,AB中点N
∵OB=OC∴OH垂直BC
∵PB=PC ∴PH垂直BC
所以BC垂直平面PHO
所以BC垂直PO
同理,AB垂直PO
所以PO垂直平面ABC