设O是锐角三角形ABCde外心，已知三角形BOC，三角形coa ，aob的面积依次成等差数列。

利用三角形面积=任意两邻边的乘积*这两个邻边的夹角/2。所以例如三角形BOC的面积=(OB*OC*sinBOC)/2。又因为O为三角形外心的圆心，所以OB=OC=OA=R。三角形圆心角等于圆周角的二倍，所以角BOC=2角A。
所以三角形BOC的面积=(R^2sin2A)/2，根据等差数列性质，AOC面积的二倍=AOB与BOC的面积之和，所以sin2A+sin2C=2sin2B，而2sin2B=-2sin2(A+C)=-2sin(A+C)cos(A+C)，sin2A+sin2C=2sin(A+C)cos(A+C)。代入原式化简得cos(A-C)=-2cos(A+C)，进一步化简得cosAcosC+sinAsinC=-2(cosAcosC-sinAsinC)，所以3cosAcosC=sinAsinC，所以tgAtgC=1/3。