求大侠帮帮忙一道简单的幂级数的和函数题!

解的过程如下：
∑[x^n]/[n*3^(n-1)]，(n=1→∞)
=3∑[(x/3)^n/n]，(n=1→∞)
当|x|＞3时，级数发散；
当x=3时，级数发散；
当x=-3时，3∑[(x/3)^n/n]=-3ln2；
当|x|＜3时，
令f(x)=3∑[(x/3)^n/n],(n=1→∞)
则f'(x)=∑(x/3)^(n-1),(n=1→∞)
f(x)=∫f'(x)dx,{0→x}
而f'(x)=∑(x/3)^(n-1),(n=1→∞)
=[1-(x/3)^n]/[1-(x/3)],(n=1→∞)
=3/(3-x)
所以
f(x)=3∫dx/(3-x),{0→x}
=-3∫d(3-x)/(3-x),{0→x}
=-3ln(3-x),{0→x}
=-3[ln(3-x)-ln(3-0)]
=3ln3-3ln(3-x)
考虑到x=-3时，3∑[(x/3)^n/n]=-3ln2满足上式，
所以
∑[x^n]/[n*3^(n-1)]，(n=1→∞)
=3ln3-3ln(3-x)，x∈[-3,3)

设t＝x/3，则∑[x^n]/[n*3^(n-1)] ＝3×∑[t^n/n]
先求得幂级数∑[t^n/n]的收敛半径R＝1
当t＝1时，级数变为∑[1/n]，发散；当t＝－1时，级数变为∑[(-1)^n/n]，由莱布尼兹判别法，级数收敛.
所以级数的收敛域是[-1,1)
设∑[t^n/n]的和函数是s(t)，逐项求导得
s'(t)＝∑(n=1→∞) [t^(n-1)]＝1/(1-t)，-1＜t＜1
积分得s(t)＝-ln(1-t)，-1≤t＜1

将t＝x/3回代得原幂级数的收敛域是[-3,3)，和函数是-ln(1-(x/3))＝ln3－ln(3-x)