UC知道3.4 函数的最大、最小值（二）
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/05 10:07:13
【拓展型题】
10.对于任意实数x、y，函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)<0，还有f(-1)=-2，(1)证明它是奇函数
(2)证明它的单调性
(3)求函数y=f(x)在[-3，3]上的最大值与最小值。
10.对于任意实数x、y，函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)<0，还有f(-1)=-2，(1)证明它是奇函数
(2)证明它的单调性
(3)求函数y=f(x)在[-3，3]上的最大值与最小值。
你的题目有问题，要不改成"当x>0时，f(x)>0"或"f(-1)=2"
我按第一种改法做
(1）令y=-x
f(x+y)=f(x)+f(y)
∴f(0)=f(x)+f(-x)
令y=x=0
f(0)=f(0)+f(0)
f(0)=0
∴f(x)+f(-x)=0
f(-x)=-f(x)
它是奇函数
（2）令x1<x2,x2-x1>0
f(x2-x1)=f(X2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)
∵当x>0时，f(x)>0
∴f(x2-x1)=f(x2)-f(x1)>0
∴f(x2)>f(x1)
∴此函数是单调增函数
（3）由（2）知
函数y=f(x)在[-3，3]上的最大值与最小值分别为f(3)和f(-3)
f(-3)=f(-1-2)=f(-1)+f(-2)=-2+f(-1)+f(-1)=-2-2-2=-6
f(3)=-f(-3)=6