一道三角函数证明题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/28 10:42:13
问：
已知a,b为锐角，且(sina)^2 + (sinb)^2 = sin(a+b) ,求证：a+b = 90度。
哪位高手帮个忙啊。。

由倍角公式，得(1-cos2a)/2+(1-cos2b)/2=sin(a+b)
即1-（cos2a+cos2b)/2=sin(a+b)
由和差化积，得1-cos(a+b)cos(a-b)=sin(a+b)
即cos(a+b)cos(a-b）+sin(a+b)=1(*)
因为sin(a+b)<=1,故cos(a+b)cos(a-b）>=0,而cos(a-b）>0,故cos(a+b)>=0，
所以0＜a+b＜=90
sin(a+b)>=[sin(a+b)]^2,1=cos(a+b)cos(a-b）+sin(a+b)>=cos(a+b)cos(a-b）+[sin(a+b)]^2-1+1=cos(a+b)cos(a-b）-[cos(a+b)]^2+1,
即cos(a+b)cos(a-b）<=[cos(a+b)]^2,cos(a+b)[cos(a-b）-cos(a+b)]<=0,
显然0<|a-b|<a+b<90,故cos(a-b）=cos|a-b|>cos(a+b),所以cos(a+b)<=0。
因cos(a+b)>=0,故cos(a+b)=0，a+b=90