证明:设G为△ABC的重心,则GA^2+GB^2+GC^2最小

设△ABC三点坐标分别是(x1,y1)(x2,y2),(x3,y3)，G(x,y)
则
GA^2+GB^2+GC^2
=(x-x1)^2+(y-y1)^2+(x-x2)^2+(y-y2)^2+(x-x3)^2+(y-y3)^2
=3x^2-2(x1+x2+x3)+(x1^2+x2^2+x3^3)+3y^2-2(y1+y2+y3)+(y1^2+y2^2+y3^3)
根据二次函数性质，要使上式取最小值，需要
x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3
即G为△ABC的重心时,GA^2+GB^2+GC^2最小

用向量法可证明(符号太难打,过程就不写了)，M是三角形ABC所在平面上任一点，G为三角形ABC重心，则|MA|^2+|MB|^2+|MC|^2=|GA|^2+|GB|^2+|GC|^2+3|MG|^2,可知，仅当M与G重合(即MG=0)时，到三顶点距离的平方和有最小值