直线与平面垂直

证明：设P'是P在平面ABC内的射影
所以PP'⊥面ABCD
由题知P'是外心
∴P'A=P'B=P'C
∵在△AP'P中 AP²=AP'²+PP'²
△CP'P中 CP²=CP'²+PP'²
∴ AP²=CP²同理得AP²=CP²=BP²
∵棱长为正数
∴AP=BP=CP

P在ABC的射影设为O,是ABC的外心,
则OA=OB=OC,
又OP是射影,
OP垂直于ABC,三角形OPA和OPB和OPC均为直角三角形,且全等,
则PA=PB=PC

设P在平面ABC内的射影为O
有OA=OB（外心）OP=OP(同一线段）角AOP＝角BOP（直角）
所以三角形AOP与BOP全等
所以PA＝PB（全等三角形对应边相等）
同理PA＝PC
所以PA＝PB＝PC

P-ABCD这是四棱锥。。呵呵
因为O是ABC的外心,
所以OA=OB=OC
因为OP为O到底面的射影，
所以OP必定垂直于底面ABC
接着是三个立着的直角三角形全等，推出PA=PB=PC 。

外心为o
则oa=ob=oc
poa pob poc 全等
则PA=PB=PC

解：设外心为E连接EP EA EB EC 。
因为E为外心所以EA=EB=EC
又因为PA垂直于EA EB EC
所以三角形PEA PEB PEC 全等
所以PA=PB=PC