椭圆和双曲线问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/30 19:32:52
F1、F2为三定点，椭圆C1和等轴双曲线C2都以F1和F2为焦点，点P是C1和C2的一个交点。且角F1PF2=90度，则椭圆C1的离心率为（）
A。三分之根号六 B。二分之根号三 C。二分之根号二 D。三分之二根号二。
1楼的回答，好像有错啊。

设C1：X²/m²+Y²/n²=1
C2: X²/a²-Y²/a²=1
|PF1|=X1 |PF2|=X2
则
X1-X2=2a ①
X1+X2=2m ②
∵△PF1F2为直角三角形
∴X1²+X2²=4C²
∵C²=2a²
∴X1²+X2²=8a²
且m²-n²=c²=2a²
①²：4a²+2X1X2=8a² ③
②²：4m²-2X1X2=8a² ④
③+④得
m²=3a²
e²=2a²/3a²=2/3
e=√6/3
∴选择A

等轴双曲线C2的离心率为√2，设椭圆离心率为e,二者的公共焦距为2c
则|PF1|-|PF2|=2c/√2,
||PF1|+|PF2||=2c/e
|PF1|²+|PF2|²=|F1F2|²=4c²
三式联立解得e=三分之根号六
故选A