为什么线性方程组按行最简型可以求出解集的最大无关组

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/10 14:30:07
设最终结果为x=c1*l1+c2*l2.........cn-r*ln-r
注意这里x是解向量，c1到cn-r是系数，l1到ln-r是基础解系。书上说由n-r个基础解系构成的n-r阶方阵的行列式A的值不等于0，所以那n-r个列向量是最大无关组。我想知道“A不等于0”是怎样证明的
归结起来，也可以说是求对这个定理的证明：设mxn矩阵的秩为r，则n元齐次线性方程组的解集的秩为n-r

我是没看出来你说的那个A到底怎么来的。
不管怎么说，给你一个简单的证明:
若B是mxn矩阵，秩是r，那么必存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得B=PDQ，其中D是mxn的矩阵，并且有以下结构
D=
Ir 0
0 0
那么Bx=0 <=> PDQx=0 <=> Dy=0，其中y=Qx。
对于Dy=0，很显然地就可以造出n-r个线性无关的解，并且用反证法可以证明不能再有第n-r+1个线性无关解了。
由于Q可逆，所以Bx=0和Dy=0解空间同构，维数一样。

注：
这个是基本定理，教材上一般不会没有，好好看书就行了。
如果教材上真的没有，那么是简化过的教材，最好去找一本完整的看。
还有，即使教材上没有，为什么不自己动手证明呢，这个又没什么难度。

行列式A不为0，表示矩阵满秩，列（行）向量组线性无关。所以这n-r个向量是线性无关的，且所有解可由它们线性表出，是基础解系。

如果A为0,则整个行列式中至少有二行或二列是相同的(这能明白么?),这样会得到至少二组解是呈倍数关系的,就得到那A不是最大无关组