设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1) a属于R
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/06/22 01:40:52
(1)若函数f(x)在[2,正无穷)上为单调增函数,求实数a的取值范围。
(2)若a=1,试在函数f(x)的图像上求两点,使以这两点为切点的切线互相垂直,且两切点的横坐标均在区间[-1/2,2]上.
(2)若a=1,试在函数f(x)的图像上求两点,使以这两点为切点的切线互相垂直,且两切点的横坐标均在区间[-1/2,2]上.
很简单
解:(1)对于函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1)
其一次导函数为f'(x)=(ax-1)/(x+1)
二次导函数为f''(x)=(a+1)/(x+1)²
易知
当a>-1时,f'(x)单调递增,所以只需要f'(x)≥f'(2)≥0即可
解得a≥1/2
当a≤0时,f'(x)单调递减,当x→+∞时,limf'(x)=a≥0,只能有a=0
但代入a=0,f(x)=-ln(x+1),单调递减,与题设矛盾,故舍去
所以a≥1/2时候,f在[2,+∞)单调递增
(2)如果在f(x)上过两点的切线垂直,则设这两点为(x1,y1),(x2,y2)
则f'(x1)*f'(x2)=-1
又a=1,则f'(x)=(x-1)/(x+1),f(x)=x-2ln(x+1)
代入上式整理得到:x1*x2=-1
根据两切点的横坐标必须居于区间[-1/2,2]
则若x1>-1/2,则x2>2,同理,x2<2也不成立
因此可以得到x1=-1/2,x2=2
点(-1/2,-1/2+2ln2),(2,2-2ln3)即为所求
f'(x)=a-(a+1)/(x+1)
[2,正无穷)上为单调增函数。
则可知当x=2时,f'(x)=a-(a+1)/(x+1)>=0即可
所以
a-(a+1)/(2+1)>=0
a>=1/2
若a=1,则
过这点的切线斜率为:
1-2/(x1+1),1-2/(x2+1)
这两点为切点的切线互相垂直
则[1-2/(x1+1)]*[1-2/(x2+1)]=-1
则:x1x2=-1
而两切点的横坐标均在区间[-1/2,2]。所以
可求得只有x=-1/2,x=2。(当x1从-1/2增加时,另一根x2将超过2.)
a<>1
设函数f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax+8,其中a?R.
设函数f(x)= √(x2+1)-ax(a>0) (高一习题)
设函数f(x)=根号(x2+1)-ax,其中a>0. 解不等式f(x)《1:
设a>0,函数f(x)=x^3-ax在[1,+∞)上是单调函数
设函数f(x)=ax^2+a-2/2^x+1为奇函数,求a的值
设0<=a<1时,函数f(x)=(a-1)x方-6ax+a+1恒为正,求f(x)的定义域
设|a|≤1,函数f(x)=ax^2+x-a,x∈[-1,1].求|f(x)|的取值范围
设 a属于R,函数发f(x)=ax^2-2x-2a 若f(x)>0
设二次函数f(x)=-x^2+2ax+a^2
设函数f(x)=|x-a|-ax其中0<a<1为常数解不等式f(x)<0