有关抛物线的题目，求大家帮忙

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/05 19:38:36
已知抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且满足|MF|=4|FO|
求（1)求角MFO的大小
（2）若三角形MFO的面积为4根3，求抛物线的方程

请详细说明一下思路与解题方法，谢谢谢谢谢谢！

楼上的答案有误：”过M作直线垂直于x轴并相交于A，∠MFO=∠MFA”是错误的，应该是：∠MFO=180°-∠MFA
现在提供一种新解法：
解：①|FO|＝P／2，则|MF|=4|FO|＝2P，且焦点为F
由抛物线第二定义得：M到准线：X＝-P／2的距离等于2P
则M横坐标为3P／2，代入抛物线y²=2px得M(3p/2,±p√3)，
→ →
cos∠MFA＝FO·FM／|MF||FO|＝-p²/2p²＝-1／2
则∠MFA＝120°
②过M作直线垂直于x轴并相交于A，∠SΔMFO=4√3＝|OF|×|MA|÷2
则∠SΔMFO=4√3=(√3)p²/4，p²=16，p=4；抛物线方程为y²=8x

解：⒈抛物线y²=2px(p＞0)，则可得焦点F(p/2,0)，原点O(0，0)，M(x,±√2px)。
|MF|²=(x-p/2)²+2px，|FO|²=p²/4。
|MF|=4|FO|，|MF|²=16|FO|²，∴(x-p/2)²+2px=4p²，即：x²+px-15p²/4=0，解之，x1=-5p/2(舍去∵x≥0)，x2=3p/2。
∴M(3p/2,p√3)，过M作直线垂直于x轴并相交于A，∠MFO=∠MFA。
∵|MF|=4|FO|=4×p/2=2p，|MA|=p√3，cos∠MFA=|MA|/|MF|=(√3)/2，∴∠MFA=60°，即∠MFO=60°。

⒉∵SΔMFO=4√3，SΔMFO=|OF|×|MA|÷2=(p/2)×(p√3)÷2=(√3)p²/4，
∴p²=16，p=4；抛物线方程为y²=8x。