AB平方+AD平方=CD平方+BC平方 求证BD是圆O的直径

你这个题目有漏洞：
BD是直径必须还要加一个条件：点A、C在BD异侧。否则，对于圆的任意一条弦BD，作其垂直平分线l，那么A、C只要关于直线l对称，恒有AB^2+AD^2=CB^2+CD^2

把这个条件加进去的话，可以按如下证明BD是直径：
由余弦定理知：AB^2+AD^2＝BD^2+2AB•AD•cosA，CB^2+CD^2= BD^2+2CB•CD•cosC
则有：AB•AD•cosA＝CB•CD•cosC
而∠A+∠C＝180°，因此cosA=-cosC
即有-AB•AD•cosC＝CB•CD•cosC，亦即cosC•（AB•CD+CB•CD）＝0
由于AB•CD+CB•CD>0，所以cosC=0
故∠A＝∠C＝90°
所以BD是圆的直径

假设BD不是直径，那么不妨设A<90，C>90。
那么，根据三角形的三边关系，AB^2+AD^2>BD^2>CB^2+CD^2，矛盾。

假设BD不是直径，那么不妨设A<90，C>90。
那么，根据三角形的三边关系，AB^2+AD^2>BD^2>CB^2+CD^2，矛盾。

运用假证法。假设作AD作垂直，过圆内一点O1，然后证明O1与圆心O重叠。自已去证明。

不知 你是高中还是初中 要用 余弦定理 我这里 写不出来 你 用余弦定理试试吧 还有 就是 对角 互补 可以 得到 角A=角C=90度 就 可以得到 是 直径