具有公共焦点的椭圆与双曲线中心均在原点，对称轴是坐标轴，焦点在x轴上

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/16 00:16:10
具有公共焦点的椭圆与双曲线中心均在原点，对称轴是坐标轴，焦点在x轴上，它们的离心率互为倒数，虚轴长与长轴长之比为1/2，焦点到渐近线的距离为1，求椭圆与双曲线的方程

解：根据题意，设虚轴长为b，则长轴长为2*b，c/(2*b)*c/(c^2-b^2)^(1/2)=1，得
c^2=4*b^2(c^2-b^2)
解得
c/b=2^(1/2)
双曲线的渐近线为
x/a-y/b=0或x/a＋y/b=0
而其焦点为(c,0)或(-c,0)
由焦点到渐近线的距离为1得
1=|b*c|/(b^2+a^2)^(1/2)
化简得
b^2+a^2＝b^2*c^2
即：c^2＝b^2*c^2
从而得：b=1，c=2^(1/2)，a=1
双曲线方程为
x^2-y^2=1
同样可得椭圆的方程为
x^2/4+y^2/2=1。