数学归纳法证明问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/23 19:18:35
已知数列{an}中,a1=-2/3,且满足Sn+(1/Sn)+2=an(n≥2)
用数学归纳法证明Sn的表达式

现在猜测出表达式为:S=-(n+1)/(n+2),请证明

Sn=S(n-1)+an
由Sn + 1/Sn + 2 = an得
S(n-1)+an+1/Sn+2=an
Sn=-1/[S(n-1)+2]

n=1时，Sn=a1=-2/3，-(n+1)/(n+2)=-2/3，所以Sn=-(n+1)/(n+2)成立。

假设当n=k(k≥1)时，Sn=-(n+1)/(n+2)成立，即Sk=-(k+1)/(k+2), k∈N
则当n=k+1时，
S(k+1)=-1/(Sk+2)=-1/[-(k+1)/(k+2)+2]=-(k+2)/[2(k+2)-(k+1)]=-(k+2)/(k+3)
=-[(k+1)+1]/[(k+1)+2]

即Sn=-(n+1)/(n+2) 也成立。

所以对于任意自然数n，都有Sn=-(n+1)/(n+2)