已知过a（0,1）和b（4,a）且与x轴相切的圆只有一个，求a的值及圆的方程

与x轴相切的圆，圆心的y坐标的绝对值为圆的半径。

所以，可设圆的方程为,

(x - c)^2 + (y - d)^2 = d^2,

(x - c)^2 + y^2 - 2dy = 0,

又，a（0,1）和b（4,a）在圆上，

所以，

(0-c)^2 + 1 - 2d = 0, c^2 + 1 = 2d, d = (c^2 + 1)/2. ...(1)

(4-c)^2 + a^2 - 2da = 0, ...(2)

将（1）带入（2），有，
(4-c)^2 + a^2 - a(c^2 + 1) = 0,

c^2 - 4c + 4 + a^2 - ac^2 - a = 0,

(1-a)c^2 - 4c + 4 + a^2 - a = 0 ...(3)

因满足条件的圆只有一个，所以关于c的2次方程（3）应该有2个相同的根。

因此，
（-4）^2 - 4(1-a)[4 + a^2 - a] = 0,

4 - (1-a)[4 + a^2 -a] = 0,

4 - [4 + a^2 - a - 4a - a^3 + a^2] = 0,

a^3 - 2a^2 + 5a = 0,

a[a^2 - 2a + 5] = 0,

a[(a-1)^2 + 4] = 0.

所以，a = 0,

这时，（3）式化为，
(1-0)c^2 - 4c + 4 + 0 - 0 = 0，

c^2 - 4c + 4 = 0,

(c - 2)^2 = 0,

c = 2.

再由（1）式，
d = (2^2 + 1)/2 = 5/2.

因此，
圆的方程为，
(x - 2)^2 + (y - 5/2)^2 = (5/2)^2