在三角形ABC中，C=135度，则1/tanA+1/tanB的最小值为多少？

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/30 11:25:05

1/tanA+1/tanB=cosA/sinA+cosB/sinB
~~~~~~~~~~~~~=(cosAsinB+sinAcosB)/sinAsinB
~~~~~~~~~~~~~=sin（A+B）/sinAsinB
~~~~~~~~~~~~~=sin45/sinAsinB
所以当sinAsinB最大时原式有最小值
sinAsinB=sinAsin(45-A)
0<sinA<sin45,0<sin(45-A)<sin45
所以当sinA=sin（45-A）时sinAsinB有最大值即原式有最小值
1/tanA+1/tanB=sin45/sin22.5sin22.5

1/tanA+1/tanB=cosA/sinA+cosB/sinB
=(cosAsinB+sinAcosB)/(sinAsinB)
=sin（A+B)/(sinAsinB)=2sin（A+B)/(cos(A-B)-cos(A+B))
=2sinC/(cos(A-B)+cosC)
=2sin135/(cos(A-B)+cos135)
显然当A=B,cos(A-B)=1时上式取得最小值,此时
1/tanA+1/tanB=2sin135/(1+cos135)=2√2+2