高中数学函数问题4

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/08 03:39:08
已知f(x)=(a*2^x+a-2)/(2^x+1),(x∈R),若f(x)满足f(-x)=-f(x)
(1)求实数a的值
(2)判断函数的单调性
(3)解不等式f(x)>2^x-1

(1)F(-X)=[a2^（-X)+a-2]/[2^(-X)+1]
=(a+a2^x-2*2^x)/(2^x+1)
=-F(X)
又F(X)=(a2^X+a-2)/(2^X+1)
则a+a2^x-2*2^x=-(a2^X+a-2)
(2a-2)2^X+2a-2=0
2a-2=0
a=1
(2)由(1)得f(x)=(2^x-1)/(2^x+1),
设x1<x2 (x1,x2∈R)
f(x1)-f(x2)
=(2^x1-1)/(2^x1+1)-(2^x2-1)/(2^x2+1)
=[(2^x1-1)(2^x2+1)-(2^x1+1)(2^x2-1)]/(2^x1+1)(2^x2+1)
2^x1+1>0 ,2^x2+1>0
[(2^x1-1)(2^x2+1)-(2^x1+1)(2^x2-1)]
=2^(x1+x2)+2^x1-2^x2-1-2^(x1+x2)+2^x1-2^x2+1
=2^(x1+1)-2^(x2+1)
因为y=2^x是增函数
则x1+1<x2+1
所以 2^(x1+1)<2^(x2+1)
所以 f(x1)<f(x2)
所以 f(x)在R上是增函数
(3)f(x)>2^x-1
(2^x-1)/(2^x+1)> 2^x-1
2^x+1>0
则2^x-1>(2^x-1)(2^x+1)
(2^x-1)-(2^x-1)(2^x+1)>0
(2^x-1)(1-2^x-1)>0
(2^x-1)(2^x)<0
0<2^x<1
0<2^x<2^0
则x<0