已知定点A(1,1),B(3,3)，动点P在x轴正半轴上，若∠APB取得最大值，则P点的坐标

来源：百度知道编辑：UC知道时间：2024/06/17 05:08:07

已知定点A(1,1),B(3,3)，动点P在x轴正半轴上，若∠APB取得最大值，则P点的坐标
A.(根号2，0）B.（根号3，0）C.（根号6，0）D.这样的点P不存在
求详细解题过程，谢谢！

楼上说的没错～

由A、B两点坐标及位置特点，可以看出，动点P在x轴正半轴上的某个位置可能使∠APB取最大值。利用平面几何中的圆外角小于圆周角，设过AB且与x轴正半轴相切的圆与x轴的切点为P，则P点即为所求的点。

那么怎么求P呢？较常规的做法是设过AB且与x轴正半轴相切的圆的圆心为(x,y),则P(x,0)。因为A,B,P三点俱在圆上，因此OA=OB=OP,三者平方也必定相等。

即y^2=(x-1)^2+(y-1)^2=(x-3)^2+(y-3)^2

由(x-1)^2+(y-1)^2=(x-3)^2+(y-3)^2可得y=4-x

因此(4-x)^2=(x-1)^2+(3-x)^2

解得x=根号6。因此选D。

上述方法比较容易想到，但计算有点麻烦。

其实在三角形OBP中，OAP和OPB是相似的，

因此OP/OB=OA/OP，所以OP^2=OA•OB=√2×√18=6

故OP=√6

（那么为什么△OAP∽△OPB呢？

因为∠POA=∠BOP,∠OAP=∠OPB

∠OAP=∠OPB,记得是一个定理，必要的话这里给出一种证明：

如图，∠OPB=∠OPC+∠1=90°+∠1

而在△OPB中，90°+∠1=180°-∠C

∠C=∠2,所以90°+∠1=180-∠2=∠OAP

因此∠OAP=∠OPB）