设√3b是1-a和1+a的等比中项,则a+3b的最大值为?

由等比中项可知(√3b)^2=3b^2=(1+a)(1-a)=1-a^2>0，所以-1<a<1

可设a=sinx，x∈(0,π/2)，代入得：b=cosx/√3=√3cosx/3

所以a+3b=sinx+√3cosx=2sinx(x+π/3)

所以当x=π/6,即a=1/2时，a+3b取得最大值2

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(√3b)^2=(1+a)(1-a)
3b^2=1-a^2

令a+3b=m,a=m-3b,代入上式

3b^2=1-(m-3b)^2=1-m^2+6mb-9b^2
12b^2-6mb+m^2-1=0
此关于b的方程有解
△=(-6m)^2-48(m^2-1)=-12m^2+48>=0
m^2<=4
-2<=m<=2

a+3b最大值为2

√3b是1-a和1+a的等比中项
则
3*b方+a方=1
不妨设b=√sinA/3 a=√cosA
则a+3b=
√cosA+√3*√sinA.......................