已知A,B,C是不共线的三点,O是三角形ABC内的一点,若向量OA+向量OB+向量OC=0,证明O是三角形ABC的重心

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/21 11:14:42
请告诉我答案及解题过程！！！谢谢！！！

解：
取BC中点D，连结并延长OD至E，使DE=OD
于是四边形BOCE是平行四边形
所以向量OB=向量CE
所以向量OB+向量OC=向量CE+向量OC=向量OE
而由向量OA+向量OB+向量OC=0得
向量OB+向量OC=-向量OA=向量AO
所以向量AO和向量OE共线
所以A、O、E三点共线
而D在OE上
所以A、O、D三点共线
而点D又是BC中点
所以AD(即AO)是三角形ABC中BC边中线
同理可证BO是AC边中线，CO是AB边中线
所以点O是三角形ABC的重心

设D为AB中点，则向量OA+向量OB为2倍向量OD，2向量OD=向量CO，所以O，D，C共线，同理，O也在另外的两条中线上。即O为ABC的重心。