已知等腰三角形ABC的两个顶点为A(0,1)B(0,3)第三个顶点C在X轴的正半轴上

好题！

解：
1.等腰三角形ABC的两个顶点为A(0,1)B(0,3)
第三个顶点C在X轴的正半轴上
则AC=AB=2,OA=1
所以OC=√（2^2-1)=√3, C(√3,O)
设直线BC：y=kx+b
则0k+b=3，√3k+b=0
解得b=3，k=-√3
所以直线BC的解析式为：y=-√3x+3

2.抛物线y=ax²+bx+c关于Y轴对称
则b=0，抛物线y=ax²+c
又经过A(0,1）,D（3，-2），P三点
则c=1，9a+c=-2
所以c=1，a=-1/3
所以抛物线解析式为：y=-1/3x²+1

又有OB=3,OC=√3
所以tan∠OBC=OC/OB=√3/3
所以∠OBC=30°
所以∠BCA=∠ACO=30°
所以CA平分∠BCO
即直线AC是相交线BC,x轴的对称轴
抛物线y=-1/3x²+1上的点P关于直线AC的对称点在x轴上
所以点P是抛物线：y=-1/3x²+1与直线BC：y=-√3x+3的交点
解方程组y=-1/3x²+1，y=-√3x+3
得x1=√3，y1=0，或x2=2√3，y2=-3
所以交点为(√3,0)或(2√3,-3)
又C(√3,O)
所以P(2√3,-3)

3.因P(2√3,-3)关于Y轴的对称点P’(-2√3,-3)
C(√3,O)
M是y轴上的一个动点，
所以MP=MP'
所以PM+CM=MP'+CM≥CP'=√[(√3+2√3)²+（0-3)²]=6
即PM+CM的取值范围为：PM+CM≥6