定义在R上的函数f(x) 急救！！！！

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/04 02:17:17
任意x,y∈R都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),
f(0)≠0,f(x)为偶函数,
存在常数c使f(c/2)=0,
1.证明任意x∈R,f(x+c)=-f(x)成立
2.试问f(x)是否是周期函数

(1)
令y=0:
f(x+0)+f(x-0)=2f(x)f(0) ==> 2f(x)=2f(x)f(0) 且 f(0)≠0 ==> f(0)=1
令y=c/2:
f(x+c/2)+f(x-c/2)=2f(x)f(c/2) 且f(c/2)=0 ==> f(x+c/2)=-f(x-c/2)
令y+c/2=x 代入上式
f(y+c)=-f(y) ===> f(x+c)=-f(x)

(2)
由f(x+c)=-f(x) ==>f(x+2c)=-f(x+c)=f(x) ==>f(x+2c)=f(x)
所以是周期函数,2c是其一个周期.

- -。

⊙﹏⊙b汗、我还没学到