若函数f(n)=1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(n+n),n>=2,n为正整数,求函数的最小值

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/21 08:22:45
详细的答案,谢了
n-[n/(n+1)+(n+1)/(n+2)+....+(n+n-1)/(n+n)]
≥n-n·{[n/(n+1)][(n+1)/(n+2)]....[(n+n-1)/(n+n)]}^(1/n)

这一步是怎么来的啊?看不懂
我不仅要答案还要过程 .

"夹逼定理"

f(n)=1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(n+n)
=[1-n/(n+1)]+[1-(n+1)/(n+2)]+...+[1-(n+n-1)/(n+n)]
=n-[n/(n+1)+(n+1)/(n+2)+....+(n+n-1)/(n+n)]
≥n-n·{[n/(n+1)][(n+1)/(n+2)]....[(n+n-1)/(n+n)]}^(1/n)
=n-n·(1/2)^(1/n)

函数的最小值为1/2.
f(n+1)-f(n)=(1/(n+2)+1/(n+2)+...+1/(2(n+1)))-(1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n))=1/(2(n+1))+ 1/(2n+1)-1/(n+1)
>1/(2(n+1))+ 1/(2n+2)-1/(n+1)=0
即f(n+1)>f(n)
f(n)随着n的增大而增大,故n=1时最小,f(1)=1/2,但如果要求n>=2,则f(2)=7/12

f(n+1)-f(n)=1/(n+n+1)+1/(n+n+2)-1/(n+1)
=1/(n+n+1)-1/(n+n+2)>0
即
f(n+1)>f(n)
即
最小值为f(2)=1/3+1/4=7/12.