线性代数的一个问题

(1)A的行列式等于它所有特征值的乘积,故|A|=1*2*3=6
A的特征值是1,2,3 ,则A+E的特征值是1+1,2+1,3+1,即 2,3,4,故
|A+E|=2*3*4=24

(2)A的平方的特征值等于A的特征值平方,故A的平方的特征值为1,4,9
如果A的特征值为a,则a^2-a+3必是A^2,A^2-A+3E的特征值,故A^2-A+3E的特征值为 1^2-1+3,2^2-2+3,3^2-3+3,即3,5,9.

上述用到的结论书上都有,现证明几个:
设a是A的特征值,则存在非零向量x,有Ax=ax,(A+E)x=Ax+Ex=ax+x=(a+1)x
故a+1是A+E的特征值.
设a是A的特征值,则存在非零向量x,有Ax=ax,则A^2x=AAx=A(ax)=aAx=a^2x
故a^2是A^2的特征值.
设a1,a2,...,an是A的所有特征值,则它们均是特征多项式
f(x)=|xE-A|=x^n+...的根,故f(x)=|xE-A|=(x-a1)(x-a2)...(x-an),设x=0代入上式得|-A|=(-a1)(-a2)...(-an),|A|=a1*a2*...*an,A的行列式等于它所有特征值的乘积.

1，特征值之积为矩阵的行列式的值即|A|,所以|A|=1*2*3=6
|A+E|=(1+1)(2+1)(3+1)=24
2, 看了一些网上资料我也不是很确信应为我没证出来，但大家都这么说
A^2的特征值为A的特征值的平方
下面的我不肯定了，等我找到证明方法再告诉你
楼上说对，谢谢楼上