高二数学解几椭圆，急！！

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/05 19:53:53
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与直线x+2y-2=0交于A,B两点,|AB|=根号5，且AB的中点坐标为（m,1/2),求此椭圆的方程。

要有详细解题过程！！谢谢。。

x+2y-2=0,即y=-1/2x+1代入椭圆方程:
x^2/a^2+(-1/2x+1)^2/b^2=1
b^2x^2+a^2(x^2/4-x+1)-a^2b^2=0
(b^2+a^2/4)x^2-a^2x+a^2-a^2b^2=0
x1+x2=2m
y1+y2=-1/2(x1+x2)+2=-m+2=1/2*2=1
所以,m=1.
即:x1+x2=a^2/(b^2+a^2/4)=2m=2
a^2=2b^2+a^2/2
a^2=4b^2.即a=2b.
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=4-4*(a^2-a^2b^2)/(b^2+a^2/4)=4-16(a^2-a^2b^2/(4b^2+a^2)=4-16*(4b^2-4b^2*b^2)/(4b^2+4b^2)=4-8+8b^2=8b^2-4.
AB=根号(1+k^2)*|x1-x2|=根号(1+1/4)*根号(8b^2-4)=根号5.
5/4*(8b^2-4)=5
2b^2-1=1
b^2=1.
a^2=4b^2=4
故椭圆方程是:x^2/4+y^2=1