已知函数F（x）=ln（1+x）-x ，若x大于1，证明，（1—1/（x+1））小于等于（ln（1+x）)小于等于x

好象x>0就可以了
证明：设g(x)=ln(1+x)+1/(1+x)—1
f'(x)=1/(1+x)—1=—x/(1+x)<0
所以f递减，f(x)<f(0)=0,故ln(1+x)<x
又g'(x)=1/(1+x)—1/(1+x)^2=x/(1+x)^2>0
所以g(x)>g(0)=0,故1—1/(1+x)<ln(1+x)
综上1—1/(1+x)<ln(1+x)<x

或者：不等式变形为—x^2/(1+x)<f(x)<0
在(0,x)上用拉格朗日定理
f(x)—f(0)=xf'(ξ）=—x*ξ/(1+ξ）
注意到0<ξ/(1+ξ）<x/(1+x)即证。

证明：设g(x)=ln(1+x)+1/(1+x)—1
f'(x)=1/(1+x)—1=—x/(1+x)<0
所以f递减，f(x)<f(0)=0,故ln(1+x)<x
又g'(x)=1/(1+x)—1/(1+x)^2=x/(1+x)^2>0
所以g(x)>g(0)=0,故1—1/(1+x)<ln(1+x)
综上1—1/(1+x)<ln(1+x)<x

或者：不等式变形为—x^2/(1+x)<f(x)<0
在(0,x)上用拉格朗日定理
f(x)—f(0)=xf'(ξ）=—x*ξ/(1+ξ）
注意到0<ξ/(1+ξ）<x/(1+x)即证。