高中数学题，高手介入

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/21 10:23:12
一。设函数f（x）=x^2+bx+c,f(x）=x有两根x1，x2且x2-x1＞2
则⑴求证：x1，x2为f[f（x）]=x的两根
⑵方程的另两个根为x3，x4且x3＞x4试比较x1，x2，x3，x4的大小关系
二。已知函数f（x，y）（x，y∈R）满足：f（x，0）=1，f[f(x,y),z]=f(z,xy)+z,其中x，y，z∈R且xy为通常的x与y的积。试求f（x,y)的表达式。
三。已知f(x)定义域A关于原点对称且满足：①f(x1-x2)=[f(x1)f(x2)+1]÷[f(x)-f(x2)] (x1≠x2)②存在a＞0，使f（a）=1③x∈（0，2a）时，f(x)＞0④对任意x∈A，存在x1,x2∈A且x1≠x2使x=x1-x2成立。则⑴求证：f（x）为奇函数⑵求证：f(x)为周期函数⑶求证：f（x）在（0,4a）为减函数
四。已知f(x)是定义在R上的非常值函数，且对任意的x,y∈R,f(xy)=yf(x)+xf(y)恒成立，则：
⑴求f(0),f(1)的值
⑵判断f(x)的奇偶性
⑶若f(2)=2求f（2^－n）的值，其中n∈N＋【注：2^－n为2的负n次方】
更正第三题：已知f(x)定义域A关于原点对称且满足：①f(x1-x2)=[f(x1)f(x2)+1]÷[f(x2)-f(x1)] (x1≠x2)②存在a＞0，使f（a）=1③x∈（0，2a）时，f(x)＞0④对任意x∈A，存在x1,x2∈A且x1≠x2使x=x1-x2成立。则⑴求证：f（x）为奇函数⑵求证：f(x)为周期函数⑶求证：f（x）在（0,4a）为减函数
四。已知f(x)是定义在R上的非常值函数，且对任意的x,y∈R,f(xy)=yf(x)+xf(y)恒成立，则：
⑴求f(0),f(1)的值
⑵判断f(x)的奇偶性
⑶若f(2)=2求f（2^－n）的值，其中n∈N＋【注：2^－n为2的负n次方】

加数联天地群，有很多人回答。
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有点难

一
（1），f（x1）=x1
f[f（x1）]=f（x1）=x1同理证x2

（2）x4<x1<x3<x2 画图可知

二 由题意可知 f（x，0）=1=f（0，y）
f（x，y）=xy+1

三
f(x1-x2)=[f(x1)f(x2)+1]÷[f(x2)-f(x1)]
f(x2-x1)=-f(x1-x2) 说明是奇函数

f(a)=f(2a-a)=[f(2a)*1+1]/[1-f(2a)]=1 所以f（2a）=0
f(x-2a)=-1/f(x)
f(x-4a=)f[(x-2a)-2a]=f(x)
说明是周期函数，且周期为4a

由题意知：x∈（0，2a）时，f(x)＞0
必有x1,x2∈(0，2a)，使x1-x2=x,且 f(x1)>0 f(x2)>0 x1>x2
f(x)=f(x1-x2)=[f(x1)f(x2)+1]÷[f(x2)-f(x1)] >0
即f(x2)-f(x1)>0
所以为减函数
再根据f(x-2a)=-1/f(x)，推广到（0，4a）的范围内

四f(1*1)=f(1)+f(1)
f(1)=0
f(0*0)=f(0)=0

奇函数

f(2)=2
f(-2)=-2
f(-2*2)=f(-4)=2f(-2)-2f(2)=-8
f(4)=8
...
总之f（2^－n）=-f（2^n）=- 2^（2n-1）（负的2的（2n-1）次方）